О состоятельности оценок ортогонального разложения по системе многочленов Якоби

Рассмотривается непараметрическая регрессионная модель $Y_{i} =m(X_{i} )+\varepsilon _{i}$, $i=1,...,n$, где $m(x)$ – неизвестная функция регрессии, подлежащая оцениванию на основе эмпирических данных $\left\{\left(X_{i} ,Y_{i} \right)\right\}_{i=1}^{n} $, $\{ \varepsilon _{i} \} _{i=1}^{n} $ – случайные ошибки. Предполагается, что $X$ неслучайна, $m(x)$ удовлетворяет условию Липшица порядка 1, $E\varepsilon _{i} =0$, $E(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}) =0$, $i\neq j$, и $E\varepsilon _{i}^2 -1$. Показано, что если в дополнение к перечисленным выше ограничениям выполнены условия $(N(n))^2=o(n)$, $\min\{\alpha;  \beta\} >-{1}/{2}$ и $(N(n))^2=o(n/\log n)$, $\min\{\alpha;  \beta\} =-{1}/{2}$, то при $N\left(n\right)\to \infty $ справедливо соотношение $\hat{m}_{N(n)} \left(x\right)\stackrel{p}{\longrightarrow} m\left(x\right),  x\in(-1,1)$. Если к тому же $q=\max\{\alpha ;\beta\}<1/2$ и указанным выше ограничениям на рост удовлетворяет последовательность $\left(N(n)\right)^{2q+3}$, то $\hat{m}_{N(n)} \left(x\right)\stackrel{p}{\longrightarrow} m\left(x\right)$ для всех $x$ из отрезка $[-1,1]$.

Ключевые слова: непараметрическая регрессия, состоятельность, оценка, ортогональные ряды, многочлены Якоби