Эффективный метод решения модифицированной задачи Орра -- Зоммерфельда для анализа неустойчивости течений в арктическом бассейне

Для решения модифицированной спектральной задачи Орра — Зоммерфельда разработан высокоэффективный численный метод. Основное уравнение имеет четвертый порядок и определяет операторный пучок полиномиального типа, причем спектральный параметр $"\!c "$  входит как в уравнение, так и в краевое условие. Изучаемая модель описывает устойчивые и неустойчивые возмущения геострофических океанических течений с линейным вертикальным сдвигом скорости с учетом вертикальной диффузии плотности и применяется для исследования образования крупномасштабных интрузий в Арктическом бассейне. Метод вычисления собственных функций и собственных значений основан на построении разложений решения в граничной и внутренней точках и гладкой сшивке этих разложений. Равенство нулю вронскиана линейно-независимых решений дает уравнение для искомого дискретного спектра задачи, которое решается с помощью итерационного метода Ньютона. Проведенный численный анализ для нечетных решений выявил важное свойство первого собственного значения $c_1$,  ${\rm Im}(c_1) > 0$, что соответствует неустойчивости течения. При малых значениях числа Пекле $R$ исследуемого течения построена асимптотика собственного значения $c_1$, которая подтверждена числовыми данными. Расчеты выполнены для широкого диапазона изменения параметра $R \in (0, 10^6)$ с точностью $10^{-20}$. Полученные результаты подтверждают и дополняют ранее опубликованные аналитические рассмотрения и дают основание для вывода о том, что геострофическое течение в ограниченном по вертикали слое может быть неустойчиво из-за влияния диффузии плотности.

Ключевые слова: спектральная задача, уравнение Орра — Зоммерфельда, собственные значения, собственные функции, неустойчивое течение.