Задачи статики, устойчивости и колебаний жидкости в сосуде с отверстиями в днище

Рассматриваются задачи статики, устойчивости, собственных колебаний и малых движений идеальной несжимаемой жидкости, расположенной в сосуде с донными отверстиями в условиях, близких к невесомости с учетом капиллярных сил. Изучаются случаи прямоугольного канала (плоская задача) и цилиндрического контейнера (осесимметричная задача). Рассмотрены случаи как горизонтальной, так и криволинейной верхней части свободной поверхности. Проблемы изучаются с использованием методов линейных операторов, действующих в гильбертовых пространствах, а также вариационного и операторного подходов. В задаче статики получены краевые задачи для системы дифференциальных уравнений второго порядка с дополнительным интегральным условием и предложен алгоритм их численного решения. В проблеме устойчивости равновесного состояния гидросистемы доказываются утверждения о статической устойчивости равновесного состояния, основанные на знаке минимального собственного значения ассоциированной спектральной проблемы. С использованием операторного подхода задача об устойчивости приводится к задаче на собственные значения в некотором гильбертовом пространстве; изучаются свойства ее операторных матриц. Доказывается, что эта задача имеет дискретный спектр, состоящий из двух ветвей собственных значений, с предельной точкой на $+\infty$ и определяется граница области устойчивости гидросистемы. В проблеме собственных колебаний с использованием вспомогательных краевых задач исследуется соответствующая спектральная проблема; доказывается теорема о свойствах спектра задачи, а также ее следствие о динамической устойчивости и неустойчивости гидросистемы. Доказывается, что если исходные данные начально-краевой задачи о малых движениях системы удовлетворяют некоторым условиям гладкости, то существует единственное сильное решение этой проблемы, а также ассоциированной с ней задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения в соответствующем гильбертовом пространстве.}

Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, малая гравитация, состояние равновесия, колебания, операторный подход, гильбертово пространство, начально-краевая задача, спектральная задача, разрешимость, сильное решение, неустойчивость.