Смешанные краевые задачи сопряжения

На базе абстрактной формулы Грина рассмотрен общий подход к абстрактным краевым задачам сопряжения. Разобран пример конфигурации пристыкованных областей для задач сопряжения на основе обобщенной формулы Грина для оператора Лапласа (конфигурация «трижды разрезанный арбуз»). Исходная неоднородная задача сопряжения разбивается на четыре вспомогательные, содержащие неоднородность лишь в одном месте – либо в уравнении, либо в краевом условии. С помощью определенных формул Грина находятся решения каждой из вспомогательных задач, доказываются соответствующие теоремы о существовании и единственности такого решения. В конце статьи получаем вывод, что решение исходной задачи – это сумма решений четырех вспомогательных задач.

Ключевые слова: формула Грина, задачи сопряжения, липшицева граница, слабое решение, теорема Рисса, след функции, производная по внешней нормали.