О принципах сплайн-экстраполяции

Возможные приложения сплайновой математики обсуждаются в ситуации, характерной для геофизических наблюдений, когда известны только числовые значения временного ряда, построить физическую модель закономерности появления экспериментальных точек либо невозможно, либо нерационально. Простая идея сплайн-экстраполяции оказывается единственной: сетка узлов на заданном сегменте дополняется прогнозируемой точкой, строится «прогностический» сплайн на расширенной сетке, необходимо обеспечить минимум интеграла квадратичного отклонения, зависящего от ординаты добавочной точки как от параметра. Используется разложение по базису фундаментальных сплайнов, нормализованных на расширенной сетке. Проблема краевых условий для «базового» сплайна, интерполирующего экспериментальные точки, решается за счет дополнительного «сглаживания»: сплайн выбирается наименее отличающимся от полинома третьей степени. Показано, что возможна, как простейший вариант, вычислительная схема, приводящая к единственному заведомо существующему решению для ординаты прогнозируемой точки. Для равномерной сетки узлы алгоритма экстраполяции представляются в виде последовательности разложений по координатам точек, коэффициенты разложений доступны аналитически. В итоге ордината прогнозируемой точки не зависит от шага равномерной сетки, это существенно для оценки ближайшего следующего в серии регулярных наблюдений, когда принципиальна не величина интервала между измерениями, а его неизменность.

Ключевые слова: интерполяция, принципы экстраполяции, кубичесике сплайны.