О скорости равносходимости в аналоге теоремы Штейнгауза

Хорошо известна теорема Х. Штейнгауза о равносходимости в равномерной метрике тригонометрического ряда от произведения двух функций и произведения одной из этих функций на тригонометрический ряд от другой функции.
В данной статье доказываются аналоги этой теоремы, в которых речь идет о такой же равносходимости и оценивается скорость равносходимости. Равносходимость доказывается не на всем основном отрезке, а на любом компакте основного интервала. Это упрощает выкладки. Тем более, рассмотрение всего отрезка, как правило, в приложениях полученных в статье результатов не требуется. Достаточно исследования равносходимости на любом компакте основного интервала. Результаты статьи используются при исследовании равносходимости разложений в биортогональные ряды по собственным и присоединенным функциям обыкновенных дифференциальных операторов с регулярными краевыми условиями и негладким коэффициентом при ($n-1$)-й производной и по тригонометрической системе. Во введении статьи дается краткая история вопроса. В первой части статьи доказывается общая теорема равносходимости в терминах модулей непрерывности разлагаемых функций в различных метриках.
Во второй части статьи рассматриваются логарифмические модули непрерывности. В этом случае теорема равносходимости формулируется в более простой форме, показывается точность оценки скорости равносходимости. А именно, строятся примеры функций, свойства которых мало отличаются от свойств функций в условиях теоремы равносходимости, но равносходимости для которых уже нет.
Дается оценка снизу скорости равносходимости на некоторой подпоследовательности тригонометрического ряда. В последней, третьей, части статьи доказывается теорема равносходимости для случая, когда модули непрерывности оцениваются сверху медленно меняющимися функциями. В этом случае также оценивается скорость равносходимости. Как частный случай, эта теорема содержит уже полученные результаты для логарифмических модулей непрерывности.