Обобщенное решение простейшей начально-граничной задачи для однородного гиперболического уравнения со смешанной производной

Исследуется начально-граничная задача для однородного гиперболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и смешанной производной в полуполосе плоскости. Рассматриваемое уравнение является уравнением поперечных колебаний движущейся конечной струны. Рассматривается случай нулевой начальной скорости и закрепленных концов (условия Дирихле). Предполагается, что корни характеристического уравнения простые и лежат на вещественной оси по разные стороны от начала координат. Формулируется основной результат статьи, а именно, теорема о конечной формуле для обобщенного решения и кратко описывается метод получения этой формулы. Главное достоинство этой формулы состоит в том, что в ней не требуется какое-либо предварительного продолжения начальной функции за пределы отрезка ее определения. Метод опирается на идею А. П. Хромова использовать для этого теорию расходящихся рядов в понимании Л. Эйлера (аксиоматический подход). Далее определяется классическое решение рассматриваемой начально-граничной задачи. Формулируется теорема единственности классического решения в случае его существования и дается формула для решения в виде ряда, членами которого являются контурные интегралы, содержащие исходные данные задачи. На основе этой формулы вводятся понятия обобщенной начально-граничной задачи и обобщенного решения. Далее дается подробное доказательство ранее сформулированной основной теоремы статьи. Полученная формула для обобщенного решения сравнивается с соответсвующим результатом для классического решения. В конце дается краткая история вопроса.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, второй порядок, постоянные коэффициенты, смешанная производная в уравнении, полуполоса, начально-граничная задача, нулевая начальная скорость, закрепленные концы, классическое решение, обощенная начально-граничная задача, обобщенное решение, единственность классического решения, конечная формула для обобщенного решения, расходящиеся ряды