Анализ устойчивости состояний равновесия параболического уравнения с оператором растяжения и запаздыванием в нелинейном функционале обратной связи

В работе рассматривается динамика и устойчивость однородных состояний равновесия математической модели нелинейного генератора оптического излучения с оператором растяжения пространственных координат световой волны и временным запаздыванием в контуре обратной связи. Математическая модель представляет собой начально-краевую задачу для уравнения параболического типа в круге с оператором растяжения пространственного аргумента и временным запаздыванием в нелинейном функционале обратной связи. Исследуется динамика однородных состояний равновесия и их устойчивость в зависимости от параметров начально-краевой задачи. В плоскости основных параметров управления (коэффициента усиления и величины временного запаздывания) с использованием метода D-разбиений построены области устойчивости (неустойчивости) однородных состояний равновесия. Изучены возможные механизмы потери устойчивости однородными состояниями равновесия. Показана возможность колебательной потери устойчивости, которая обусловлена прохождением через мнимую ось комплексной плоскости при изменении параметров начально-краевой задачи одной или двух пар комплексно сопряженных точек спектра характеристического пучка операторов. В случае прохождения двух пар комплексно сопряженных точек спектра между ними возможны резонансные соотношения. Показана возможность потери устойчивости одновременно несколькими состояниями равновесия.

Ключевые слова: уравнение с запаздывающим аргументом, устойчивость решений, метод D-разбиений