Линейно-квадратичная игра n лиц как аналог антагонистической игры

Как правило, для нахождения решения игры чаще всего используется понятие
равновесие по Нэшу, которое обладает важным свойством устойчивости. Именно:
отклонение от решения отдельного игрока не должно увеличить выигрыш
отклонившегося. Однако равновесие по Нэшу не обладает внешней и внутренней
устойчивостью.

Внешняя, так и внутренняя неустойчивость множества равновесий по Нэшу -
негатив при его практическом использовании. В связи с этим предлагается
новое определение, а именно равновесие санкций и контрсанкций,
которое основывается на концепции угроз и контругроз. Чтобы избежать внешней и
внутренней неустойчивости, к определению было добавлено требование максимума по
Парето.

В подтверждение вышесказанного приводится доказательство отсутствия в
рассматриваемой игре равновесия по Нэшу и устанавливается существование
равновесия угроз и контругроз, а также существование равновесия санкций и
контрсанкций.

При нахождении решения данной линейно-квадратичной игры $N\geq 2$ лиц задача
рассматривается с точки зрения двух разных концепций. Различие этих концепций
заключается как раз в различии самих понятий <<угроза>> и <<санкция>>,
<<контругроза>> и <<контрсанкция>>. В первом случае игроку не имеет смысла
применять угрозу, т.к. он не сможет увеличить свою функцию выигрыша из-за
применения к нему возможной контругрозы другим игроком. Во втором случае
демонстрируется, как должен вести себя игрок, когда на него уже
<<обрушивается>> санкция.

В результате был получен явный вид нового решения линейно-квадратичной игры
$N\geq 2$ лиц - равновесие санкций и контрсанкций, которое максимально по
Парето (и поэтому внутренне и внешне устойчиво), обладает свойством
индивидуальной рациональности. При этом в игре отсутствует равновесие по Нэшу.