Эргодические теоремы для потоков в идеалах компактных операторов

Пусть $\mathcal H$~--- бесконечномерное комплексное гильбертово пространство,
$(\mathcal B(\mathcal H), \|\cdot\|_\infty)$~--- $C^\star$-алгебра всех ограниченных линейных операторов, действующих в $\mathcal H$, и пусть \ $\mathcal C_E$ \ симметричный идеал компактных операторов в $\mathcal H$, порожденный вполне симметричном пространством последовательностей \ $E\subset c_0$. Если $T_t:\mathcal B(\mathcal H)\to\mathcal B(\mathcal H), \ t\geq 0$, сильно непрерывная в $C_{1}$ полугруппа положительных операторов Данфорда-Шварца, то верны следующие варианты индивидуальной и статистической эргодических теорем: Для каждого $x\in \mathcal C_E$ сеть $A_t(x)=\frac1t\int_0^tT_s(x)ds$ сходится к некоторому \ $\widehat{x} \in \mathcal C_E $ относительно нормы \ $\|\cdot\|_\infty$ \ при \ $t\to \infty$; \ при этом, если $E$ сепарабельно и $E\neq l_1$ (как множество), то \ $\lim\limits_{t \to \infty}\|A_t (x)-\widehat{x}\|_{\mathcal C_E} = 0$.