Расщепление задачи Коши для вырожденного дифференциального уравнения третьего порядка в подпространствах

Статья посвящена исследованию задачи Коши:
\begin{equation*}
A\frac{d^3u}{dt^3}=b\frac{d^2u}{dt^2}+c\frac{du}{dt}+du(t)+f(t),
\end{equation*}
\begin{equation*}
u(0)=u^0, \quad \frac{du}{dt}(0)=u^1, \quad \frac{d^2u}{dt^2}(0)=u^2,
\end{equation*}
где заданы: ограниченный линейный оператор $A$, действующий в банаховом пространстве $X$, вещественные числа $b,c,d$, $b\ne0$, функция $f(t)\in X$, начальные значения $u^0,u^1,u^2\in X$; $t\in\mathfrak{T}=[0;t_k]$, $t_k<+\infty$. Оператор $A$ вырожден, а именно: он обладает свойством иметь 0 нормальным собственным числом (далее, 0-н.с.ч.) и одномерным ядром. Применение свойства 0-н.с.ч. позволяет расщепить уравнение и начальные условия на соответствующие уравнения и условия в инвариантном подпространстве $M$ и в корневом подпространстве $N$; искомое решение задачи находится как сумма решений в этих подпространствах. Полученные результаты иллюстрируются примером в пространстве $X=\mathbb{R}^3$ в случае, если корневое подпространство состоит только из ядра.