О положительной обратимости дифференциального оператора четвертого порядка на графе

Исследуется семейство дифференциальных операторов четвёртого порядка $L_\lambda$ на графе, зависящее от вещественного параметра $\lambda$. Основное внимание уделено описанию множества значений спектрального параметра $\lambda$, при которых оператор $L_\lambda$ является положительно обратимым. Доказано, что оператор $L_\lambda$ положительно обратим тогда и только тогда, когда соответствующее однородное уравнение обладает фундаментальной системой решений, состоящей из функций, положительных на всём графе. Установлено, что оператор $L_\lambda$ положительно обратим при всех $\lambda > 0$, меньших наименьшего собственного значения оператора $L_0$ (соответствующего случаю $\lambda=0$). Также сформулированы принципы максимума для решений дифференциальных неравенств четвёртого порядка на графе.