On Bergman projections and sharp decomposition theorems in tubular and related domains in C^n

Теория аналитических пространств в общих трубчатых областях над симметрическими конусами - новая область исследований в теории функций нескольких комплексных переменных, и потому теоремы и результаты данной небольшой заметки актуальны и могут быть интересны для экспертов по теории функций нескольких переменных. В последние годы в зарубежной литературе появилось несколько интересных научных статьей по этой тематике. Укажем, в частности, на статьи Алине Бонами, Бенуа Сэгва и их соавторов. В частности, в этих работах рассматриваются интересные задачи, связанные с проекторами типа Бергмана. Такого рода задачи, как и в случае менее общих областей, могут иметь многочисленные приложения в указанной области исследований.

В одномерном случае или в случае полидиска, или в случае шара, или верхнего полупространства такого рода проблемы, связанные с интегральными операторами типа Бергмана, имеют конкретные и довольно интересные приложения, хорошо известные многочисленным экспертам по теории функций комплексного переменного. Заметим вдобавок также, что в теории пространств гармонических функций нескольких переменных картина схожая, и тут хорошо известные многочисленные теоремы об интегральных операторах типа Бергмана имеют многочисленные приложения в пространствах гармонических функций нескольких переменных в единичном шаре или же в верхнем полупространстве. Все это указывает, конечно, на актуальность рассматриваемых в нашей небольшой заметке задач.

В работе предпринята попытка обобщить некоторые недавние результаты указанных выше авторов об операторах типа Бергмана В трубчатых областях над симметрическими конусами, опубликованные сравнительно недавно в зарубежных журналах. Удалось, в частности, предъявить прямые обобщения некоторых результатов Б. Сегва об интегральных операторах типа Бергмана в трубчатых областях над симметрическими конусами. Результаты, безусловно, могут иметь приложения в указанной области исследований. Отметим в заключении, что в работе введен также новый довольно интересный класс аналитических пространств в указанных довольно сложных областях, что может безусловно также иметь самостоятельный интерес для экспертов.

Наши результаты с очень похожими доказательствами могут быть также предьявлены в самых разных многомерных областях, к примеру, в ограниченных строго псевдовыпуклых областях, областях Зигеля второго типа или ограниченных симметрических областях, или матричных областях.

В конце статьи мы приведем одну точную новую теорему декомпозиции для пространств типа Бергмана. Ранее такого рода точная теорема декомпозиции была получена автором в других областях в других аналитических пространствах нескольких переменных. Наша точная теорема в пространствах Бергмана в трубчатых областях над симметрическими конусами расширяет этот список точных результатов.

Мы также сформулируем в данной небольшой заметке несколько интересных новых на наш взгляд задач для читателя и укажем также на методы их решения.