Исследование обобщенной краевой задачи для дифференциального уравнения бесконечного порядка

В статье изучаются различные аспекты существования решений линейного дифференциального уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Отмечено, что ранее исследователи не получили сколь-нибудь значимых результатов даже для линейного дифференциального уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, посвященных исследованию краевых задач. Связанно это прежде всего с фактом отсутствия более-менее универсального метода сведения дифференциального уравнения бесконечного порядка к бесконечной системе дифференциальных уравнений, теория которых неплохо разработана в~\cite{Valeev, Israilov2004}. Работа посвящена рассмотрению для общего дифференциального уравнения бесконечного порядка \begin{equation*} \sum_{j=0}^{\infty }a_{j} (x)y^{\left(j\right)} =f\left(x,y,y',\ldots,y^{\left(\nu -1\right)} ,\ldots\right) \end{equation*} краевой задачи с многоточечно-функциональными условиями \begin{equation*} y^{\left(k_{i} -1\right)} \left(x_{i,k_{i} } \right)=\Phi _{i,k_{i} } \left(y,y',\ldots,y^{\left(\nu -1\right)} ,\ldots\right), \end{equation*} где ${x_{i,k_{i}} \in [a,b],}$ $k_{i} =\overline{1,n_{i} },$ $i=\overline{1,m},$ $m\in \{ 1,2,\ldots,n\},$ $n$ -- конечное натуральное число, $n_{i} \in \{ 0,1,\ldots,n\} $, причем $n_{1} +n_{2} +\ldots+n_{m} =n$; \begin{equation*} y^{\left(i-1\right)} \left(x_{i} \right)=\Phi _{i} \left(y,y',\ldots,y^{\left(\nu -1\right)},\ldots\right),\, \, \, i=n+1,\, \, n+2,\ldots \end{equation*} Краевая задача в такой постановке еще никем не рассматривалась. То есть рассматривается проблема сведения одной обобщенной многоточечно-функциональной краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения бесконечного порядка к краевой задаче для бесконечной системы дифференциальных уравнений путем использования теорий бесконечных определений и разрешимости бесконечных систем алгебраических уравнений, обоснованных в работах Коха и Пуанкаре \cite{Israilov2015}. Автором применяется метод линейных отображений, устанавливающий связь между пространством бесконечно дифференцируемых функций $C^{\left(\infty\right)}\left(a, b\right)$ и пространством бесконечномерных непрерывных вектор-функций $C_{\infty}\left(a, b\right)$ с непрерывными производными на сегменте $[a, b]$ с помощью некоторой заданной невырожденной матрицы $A(x)$ с непрерывно-дифференцируемыми элементами. Решение поставленной задачи и его производные до бесконечного порядка ищутся в виде некоторых функциональных рядов, составленных по матрице $A(x)$ и элементам пространства $C_{\infty}\left(a, b\right)$. Теоремы о существовании и единственности решений доказывается применяя результаты А. Пуанкаре, связанных со сходимостью определенных рядов для обеспечения разрешимости соответствующих бесконечных алгебраических систем в пространстве $l_1$ \cite{Poincar}. При использовании условий Коха с этой целью \cite{Valeev, Koch}, дающих решения таких систем в $l_2$ для построения системы интегрально-функциональных уравнений, после подстановки, доказательства соответствующей теоремы приводится в пространстве $C_{\infty}\left(a, b\right)$ с нормой $||\bar{y}||=\mathop{\max }\limits_{a\le x\le b}||\bar{y}||_{l_2}=\mathop{\max }\limits_{a\le x\le b} \left(\sum _{i=1}^{\infty }|y_{i} (x)|^2\right)^{1/2}$ и необходимой метрикой.