Эквивалентность путей в галилеево-симплектической геометрии

Пусть $V$ – 2n-мерное линейное пространство над полем действительных чисел $R$ и $GL\left( 2n, R \right)$ – группа всех обратимых линейных преобразований пространства $V$, и пусть $G$ подгруппа группы $GL\left( 2n, R \right)$. Путем в $V$ называют вектор-функцию ${x:(0,1)\to V, x(t)=\left\{ {{x}_{i}}(t) \right\}_{i=1}^{2n}}$, у которой все координатные отображения ${{{x}_{i}}:\left( 0,1 \right)\to R}$ является бесконечно дифференцируемыми функциями. Говорят, что два пути $x(t)$ и $y(t)$ являются $ G$-эквивалентными, если существует такой элемент ${ g\in   G}$, что ${y(t) =gx(t)}$ для всех ${t\in  (0,1)}$. Решается задача о нахождении необходимых и достаточных условий для $G$-эк-ви-ва-лентности путей для галилеево-симплектической группы $\Gamma Sp\left( 2n, R \right)$ всех таких линейных преобразований ${g=(g_{i,j})_{i,j=1}^{2n} \in GL\left( 2n, R \right)}$, для которых $g_{11}=\pm 1, g_{2n,2n}=\pm 1,  (g_{i,j})_{i,j=2}^{2n-1}\in Sp(2n-2,R)$, где $Sp(2n-2,R)$ есть симплектическая группа обратимых линейных преобразований пространства $R^{2n-2}$. Для решения этой задачи рассматривается дифференциальное поле всех \ $\Gamma Sp(2n,R)$-инвариантных $d$-рациональных функций и дается описание конечной системы образующих этого поля. Рассматривается класс $\Gamma Sp(2n,R)$-регулярных путей, лежащих в $R^{2n}$, т. е. таких путей \ $x(t)=\left\{x_{i}(t) \right\}_{i=1}^{2n}\subset R^{2n}$, $t\in (0,1)$, для которых \ $\det M_{2n-2}(x(t))$ \ не равен нулю для всех \ $t\in (0,1)$, где $$M_{2n-2}(x(t))=\left( x_{i}^{(j)}(t) \right)_{j=0,1,...,2n-3,    i=2,...,2n-1}, \ x_{i}^{(0)}(t) = x_{i}(t),$$ $x_{i}^{(j)}(t)$ – производная $j$-го порядка координатной функции ${x}_{i}\left( t \right) $, $i=2,...;2n-1, \ j=1,...,2n-3$. Для этого класса путей получены необходимые и достаточные условия их эквивалентности при действии группы $\Gamma Sp(2n,R)$.}

Ключевые слова: Галилеево-симплектическая группа движений, дифференциальные инварианты, регулярные пути в конечномерном пространстве